2020년 6월 시행된 평가원 모의고사 수학 나형 30번 풀이입니다.
역시 함수와 관계된 문제로 그래프를 필수적으로 그릴 수 있어야되는 문제입니다.
이차함수의 성질과 삼차함수의 성질을 이해하고 그래프를 그릴 수 있는 능력이 필요합니다.
그리고 그 성질을 가지고 이차함수와 삼차함수의 식을 만들어낼 수 있어야 합니다.
미분가능의 의미(함수값이 같고, 미분계수가 같다.)를 알고,
분석해내는 능력이 필요합니다.
이 문제는 일단 주어진 두개의 함수를 먼저 분석해야합니다.
이차함수와 삼차함수가 주어졌는데 당연히 이차함수가 쉽기때문에 이차함수 먼저 확인합니다.
극대값이 존재하는 이차함수는 위로 볼록한 형태이며 최고차항의 계수가 음수입니다.
-1에서 대칭인 형태로 -1에서 같은 거리만큼 떨어진 0과 -2에서 같은 함수값을 갖게 됩니다.
하지만 f(0)의 함수값을 모르기때문에 k로 두고 식을 만들었으며,
이에 따라 g(x)도 만들어 나갑니다.
하지만 이차항 계수를 제외한 정보가 없기때문에 최고차항의 계수가 양수인지 음수인지로 나누어
그래프를 추론해 나가기 시작합니다.
일단 x는 0에서 같은 함수값을 갖기때문에 k라고 둔 뒤
함수식을 만들어 냅니다. 가)조건에 도움을 받습니다.
최고차항이 양수일때와 음수일때 각각 저런 그래프를 그리게되며,
(미분가능이기때문에 x는 0에서 스무스하게 연결되기 위해 저런 그래프로 추론)
이차항의 계수가 0이라는 것을 통해 식의 성립여부를 확인하게 됩니다.
두개 모두 성립한다면 당연히 답이 두개나오기때문에 둘 중 하나는 성립이 불가능 하겠죠.
그래서 최고차항이 양수일때만 성립이 되어 정답을 구하게 됩니다.
이 문제는 30번 치고는 계산의 양도 작고, 문제의 난이도도 매우 낮은 편입니다.
대부분의 30번이 문제의 난이도와 함께 어마무시한 계산양을 자랑하는 것을 생각할때
이런 문제는 꼭 끝까지 풀어보시고 추후 비슷한 문제가 나왔을 때 꼭 풀 수 있길 바랍니다.
댓글